Pengertian, Perhitungan,Penguraian, dan selisih VEKTOR poligon dengan Jajargenjang


BESARAN VEKTOR






A.    Menggabungkan atau Menjumlahkan Besaran vektor


a.      Secara Grafis


           
Ada dua cara untuk
menjumlahkan beberapa vektor yaitu dengan cara poligon dan dengan cara
jajargenjang. Baik dengan menggunakan cara poligon maupun jajargenjang akan
menghasilkan hasil yang sama. Oke kita akan bahas kedua cara tersebut.



1.      Metode Poligon


 
Sekarang
coba perhatikan Gambar (a) di bawah ini, di dalam gambar (a) terdapat tiga buah
besaran vektor yaitu vektor F1,
vektor F2 dan vektor F3 yang mempunyai besar dan arah
tertentu.





penjumlahan vektor dengan cara poligon



    
Sekarang
perhatikan gambar yang dibawahnya lagi yitu gambar (b). Gambar (b) di bawah
menggambarkan penjumlahan vektor F1,
vektor F2 dan vektor F3 tersebut di atas dengan cara poligon
gaya dan vektor FR
sebagai hasil penjumlahan dari ketiga vektor tersebut. Dengan demikian secara
penjumlahan vektor dapat dinyatakan:










resultan vektor



         Penggabungan vektor secara poligon dilakukan dengan cara menggambar
vektor-vektor yang digabungkan tersebut secara berurutan (diteruskan).
Kemudian Vektor resultannya (R) digambar dengan menghubungkan titik awal
sampai akhir. (seperti pada gambar)









2.      Metode Jajaran genjang


 

            
Nah
cara yang dijelaskan di atas tersebut merupakan cara penjumlahan vektor dengan
cara poligon. Sekarang kita lanjut cara penjumlahan vektor dengan cara
jajargenjang. Perhatikan gambar di bawah ini, vektor F1 dan vektor F2 pada
satu titik tangkap yang dijumlahkan dengan cara jajaran genjang.



penjumlahan vektor dengan jajargenjang



Vektor FR merupakan vektor hasil
penjumlahan dari vektor F1 dan
vektor F2, maka penjumlahan vektor
dapat dinyatakan:





           Penggabungan vektor secara jajaran genjang dibuat dengan cara menggambar
vektor-vektor yang akan digabungkan dari titik awal yang sama, kemudian
buatlah garis sejajar vektor tadi (garis putus-putus) dari kedua ujung
vektor yang digabungkan sehingga diperoleh titik potongnya. Terakhir
gambarlah Vektor Resultannya dengan menghubungkan titik awal ke titik
potong. (seperti pda gambar) 






 




b.      Secara Analitis (Perhitungan)


 





1.      Jika arahnya sama


Resultan vektor yang arahnya sama dihitung dengan menjumlahkan besar dari kedua vektor yang digabungkan.




                        R  = V1  +  V2




2.      Jika arahnya berlawanan


Resultan vektor yang arahnya sama dihitung dengan mengurangkan besar dari kedua vektor yang digabungkan (dihitung selisihnya).




                        R  = V1  -  V2




3.      Jika saling mengapit sudut


Resultan dari vektor yang arahnya tidak sama dan tidak berlawanan atau
arahnya saling mengapit sudut dihitung dengan menggunakan rumus sbb :



















Contoh Soal :


  1. Vektor Fa dan Fb berturut-turut 30 N dan 50 N. Berapa resultan kedua vektor tersebut jika :



a.       kedua vektor searah !


b.      kedua vektor berlawanan arah !


c.       kedua vektor saling mengapit sudut 60° !


Diketahui :                  Fa = 30 N


                                    Fb = 50 N


Ditanyakan :    a) R = ................. ? (searah)


                        b) R = ................. ? (berlawanan arah)


                        c) R = ................. ?  α = 60°




a)      R = Fa  +  Fb                                        b) R = Fa  -  Fb


R = 30  +  50                                            R = 30  -  50          


R =  80 N                                                 R = - 20 N


                                    (tanda – menyatakan arah R sama dengan Fb)




































 2.        Vektor V = 400 N dengan arah 30°  terhadap arah horizontal.




      Tentukan  komponen vektor diatas pada sumbu X dan sumbu Y !




      Diketahui :      V = 400 N




      Ditanyakan :    Vx = .................. ?


                               Vy = .................  ?




                        Vx  =  V Cos α                                                            Vy  =  V Sin α


                        Vx  =  400 Cos 30°                                          Vy  =  400 Sin 30°


                        Vx  =  400 0,87                                                Vy =  400 0,5


                        Vx  =  348 N                                                    Vy  =  200 N


  


3. Vektor P, Q dan S berturut-turut  200 N, 300 N dan 400 N
dan arahnya 30° , 150° dan 210°  . Tentukan resultan dari ketiga vektor !


Diketahui :      P = 200 N


                        Q = 300 N


                        S = 400 N


Ditanyakan :    R = .................... ?


Untuk menghitung Resultan vektor yang lebih dari 2 vektor lebih mudah menggunakan tabel seperti dibawah : 
































untuk mencari besarnya resultan vektor secara matematis kita tidak
bisa hanya menggunakan cara poligon mapupun jajargenjang tetapi dapat dapat
dicari dengan cara matematis atau dengan cara menggunakan rumus. Sekarang coba
perhatikan gambar di bawah ini!




































Gambar
di atas menunjukkan penjumlahan dua vektor A dan B. Dengan menggunakan
persamaan tertentu, dapat diketahui besar dan arah resultan kedua vektor
tersebut. Persamaan tersebut diperoleh dengan menerapkan aturan cosinus pada
segitiga OPR, sehingga dihasilkan:



(OR)2
= (OP)2+(PR)2–2(OP)(PR)cos (180o - α )



(OR)2
= (OP)2 + (PR)2–2(OP)(PR)(–cos α )



(OR)2
= (OP)2 + (PR)2 + 2(OP)(PR)cos α



Diketahui
bahwa OP = A, PR = OQ = B, OR = R, sehingga:



















R
adalah diagonal panjang jajaran genjang, jika α lancip. Sementara itu, α adalah
sudut terkecil yang dibentuk oleh A dan B.







Sebuah
vektor mempunyai besar dan arah. Jadi setelah mengetahui besarnya, kita perlu
menentukan arah dan resultan vektor tersebut. Arah R dapat ditentukan oleh
sudut antara R dan A atau R dan B. Misalnya sudut θ merupakan sudut yang
dibentuk R dan A, maka dengan menggunakan aturan sinus pada segitiga OPR akan
diperoleh:



R/sin(180-α)
= B/sin θ



R/sin α
= B/sinθ



sin θ =
B sin α/R



Dengan
menggunakan persamaan tersebut, maka besar sudut θ dapat diketahui.






 


 


B.    Menguraikan Besaran Vektor


Perhatikan vektor P pada gambar  dibawah !


Arah vektor P adalah ke kanan atas, vektor ini dapat diuraikan menjadi
dua komponen yaitu (Px) ke kanan dan (Py) ke atas seperti pada gambar.




















Contoh 1


Sebuah vektor P mempunyai besar 200 satuan  dengan arah membentuk sudut
30 ˚ dengan sumbu X positif. Berapakah besar komponen vektor diatas pada
sumbu X dan pada sumbu Y ?


            Diketahui  :     P = 200 satauan


                                    α = 30˚


            Diatanya    :     Px  ..... ?


                                    Py .....  ?




            a.         Px = P Cos α                                       b.         Py = P Sin α


                        Px = 200 Cos 30˚                                            Py = 200 Sin 30˚


                        Px = 200 . 0,53                                             Py = 200 . 0,5


                        Px = 100 3 satuan                                         Py = 100 satuan








Contoh 2




            Komponen dari vektor A pada sumbu X adalah 150 satuan. Bila
vektor A mengapit sudut 60˚ dengan sumbu X positif. Berapakah besar
komponen vektor A pada sumbu Y dan berapa pula besar vektor A tersebut ?


            Diketahui :      Ax = 150 satuan


                                    α = 60˚


            Ditanya :         Ay ..........  ?


                                    A ............. ?


            a.         Ax        = A Cos α                                            b.         A2 = (Ax)2 + (Ay)2


                        150      = A Cos 60˚                                                    3002     = 1502 + (Ay)2  


                        150      = A . 0,5                                                          90000 = 22500 + (Ay)2


                        A         = 150 / 0,5                                                       (Ay)2    = 90000 - 22500


                        A         = 300 satuan                                                    (Ay)2    = 67500


                                                                                                             Ay       = 67500 satuan




 




C.    Perkalian Besaran Vektor




1.      Dot Produck (Perkalian vektor dengan vektor hasilnya skalar)


      Misalnya F(vektor gaya) dan S (vektor perpindahan), Jika kedua
vektor   diatas dikalikan hasilnya akan berupa sebuah sekalar yaitu W
(Usaha). Secara Matermatika Dot Produck dapat ditulis :


                                          V1 . V2   =   V1.V2  Cos α




2.      Kros Produck (perkalian vektor dengan vektor hasilnya vektor)


      Misalnya F (vektor gaya) dan R (vektor posisi), jika keuda vektor
tersebut dikalikan hasilnya akan berupa sebuah vektor baru yaitu  τ (Momen Gaya). Secara Matematika perkalian Kros Product dapat ditulis sbb :


                                          V1  x  V2   =   V1.V2  Sin α




Arah dari hasil perkalian vektor  dengan cara kros product dapat
ditentukan dengan aturan putaran skrup, yaitu putaran skrup sama dengan
arah putaran vektor melalui sudut terkecil sedangkan arah gerakan skrup
menyatakan arah  vektor yang dihasilkan dari perkalian kros product.




3.      Perkalian vektor dengan sebuah bilangan


a . V  =   a V



 



D.    Selisih Vektor Poligon dengan Jajargenjang



Seperti
pada penjumlahan vektor, suatu vektor bisa dikurangkan dengan vektor lain.
Pengurangan suatu vektor
A dengan
vektor
B sama dengan penjumlahan
vektor
A dengan negatif vektor B (atau -B ).








Pengurangan
vektor pada dasarnya sama dengan penjumlahan vektor negatif.






Pengurangan
vektor pada gambar di atas dilakukan dengan cara membuat vektor B (vektor yang besarnya sama dengan vektor
B, sejajar, tetapi arahnya
berlawanan). Suatu vektor A dikurangi
dengan vektor B dan hasilnya vektor
yaitu:










Sama
seperti pada penjumlahan besaran vektor, pada selisih vektor juga bisa
menggunakan cara poligon dan dengan cara jajargenjang. Berikut contoh gambar
selisih vektor dengan menggunakan metode poligon.










Pengurangan
vektor A dengan vektor B dengan metode jajar genjang yaitu
sama dengan penjumlahan vektor A dengan
vektor -B. Berikut gambar pengurangan
vektor dengan metode jajargenjang.









 


Nah Untuk tes Online silakan Klik  TES ONLINE VEKTOR





referensi : http://cepitem.blogspot.com/2011/10/vektor.html


http://mafia.mafiaol.com/2013/09/rumus-besar-arah-resultan-vektor.html


http://mafia.mafiaol.com/2013/09/selisih-vektor-poligon-jajargenjang.html